Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

Beispiele für endliche Gruppen Restklassen modulo 4 ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$ mit $\bar{0}:=\{...,-8,-4,0,4,8,...\}$ (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen), $\bar{1}:=\{...,-7,-3,1,5,9,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen), $\bar{2}:=\{...,-6,-2,2,6,10,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen), $\bar{3}:=\{...,-5,-1,3,7,11,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen), Wir definieren auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ eine Verknüpfung $\oplus$ wie folgt: $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}:=\overline{a+b}$ Die Struktur $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus )$ ist eine Gruppe: Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ abgeschlossen, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$, Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ assoziativ, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b},\bar{c}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:(\bar{a}\oplus \bar{b})\oplus \bar{c}=\bar{a}\oplus (\bar{b}\oplus \bar{c})$, ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse $\bar{0}$, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus \bar{a}=\bar{a}$, Zu jedem Element aus ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ gibt es ein inverses Element, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4\mathrm{\exists }(-\bar{a}):\bar{a}\oplus (-\bar{a})=(-\bar{a})\oplus \bar{a}=\bar{0}$. Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften: Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen. Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus )$: Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung $\oplus$ auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ kommutativ ist: $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}=\bar{b}\oplus \bar{a}$. Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats Hierbei verstehen wir unter $D_D$ die Menge aller Drehungen die das Quadrat $\overline{ABCD}$ auf sich selbst abbilden: $D_D:=\{D_0,D_{90},D_{180},D_{270}\}$ Die Verknüpfung sei die NAF. Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Überprüfung der Gruppeneigenschaften: 1. Abgeschlossenheit --> siehe Verknüpfungstabelle 2. Assoziativität --> Drehungen sind immer assoziativ 3. Neutrales Element: $D_0$ 4. Inverse Elemente: $D_0\cdot D_0=D_0$ und $D_{90}\cdot D_{270}=D_0$ und $D_{180}\cdot D_{180}=D_0$ und $D_{270}\cdot D_{90}=D_0$ Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe. Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Unter $D_R$ wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck $\overline{ABCD}$ auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum $Z$) und Geradenspiegelungen: $D_R:=\{D_0,D_{180},S_m,S_n\}$ Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch Kleinsche Vierergruppe genannt.