Serie 03 12 13

Parameterdarstellungen Aufgabe 3.1 Astroiden sind spezielle Hypozykloiden: (a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht? (b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\phi$, dessen Schenkel die positive $x-$Achse und der Strahl $M{M}_k^{+}$ sind. (c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $K{S}^{\prime }$derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $K{S}^{\prime }$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $K{S}^{\prime }$ sei $M_k$: Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $K{S}^{\prime }$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist. (d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\phi$ aus. (e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide $a$ an. (f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an. Aufgabe 3.1 - Lösung Ich habe versucht die Lösung der Aufgabe zusammenhängend darzustellen. Es wäre toll wenn mir jemand sagen könnte, ob das so stimmt --Jessy* 15:24, 11. Dez. 2012 (CET) Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Aufgabe 3.2 Es seien $R\in \mathbb{\mathbb{N}}$ und $r\in \mathbb{\mathbb{N}}$ die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. Aufgabe 3.3 Es sei $P$ eine Punktmasse, die sich in der Ebene $\epsilon$ gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ um den Punkt $M\in \epsilon$ bewegt. Es gilt $\omega =\frac{|\phi |}{t}$. Unter $\omega$ versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei $|\phi |$ die Größe des überstrichenen Winkels und $t$ die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. $P$ möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich $P$ bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit $t$. gerichtete Größen, Vektoren Aufgabe 3.4 Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?