Pfeilklassen 2012 13

Pfeile Probleme? (Unter einem Pfeil versteht man eine gerichtete Strecke. Wir werden den Begriff intuitiv gebrauchen.) Offenbar ist es so, dass Ihnen die intuitive Verwendung des Begriffs Pfeil nicht ganz geheuer ist. Ich kann das verstehen. Hier eine genauere Erläuterung: Strecken Strecken kennen wir aus der Einführung in die Geometrie: Definition Strecke $ A,B $ seien zwei verschiedene Punkte. $ {\overline {AB}}:=\left\{P|\operatorname {Zw} (A,P,B)\vee P=A\vee P=B\right\} $ Für Strecken gilt: $ {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}} $. Eine Strecke hat damit keinen Anfangspunkt. Keiner der beiden Punkte $ A $ und $ B $ ist dem anderen vorziehen. Beide heißen Endpunkte der Strecke $ {\overline {AB}} $. Pfeile Pfeile sind zunächst dasselbe wie Strecken: Eine Menge von Punkten, die zwischen zwei Punkten $ A $ und $ B $ liegen vereinigt mit der Menge die aus den beiden Endpunkten $ A $ und $ B $ besteht. Wir werden jetzt jedoch den erstgenannten Endpunkt vor dem zweitgenannten Endpunkt auszeichnen. Er wird Anfangspunkt genannt, der zweite Endpunkt heißt weiterhin Endpunkt. Anfangspunkt und Endpunkt einer solchen gerichteten Strecke bzw. eines solchen Pfeils bilden also ein geordnetes Paar. Die Reihenfolge ihrer Nennung ist damit nicht mehr beliebig. Definition Pfeil $ {\vec {AB}} $ Es seien $ A $ und $ B $ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $ {\vec {AB}} $ ist das geordnete Paar $ (A,B) $. $ A $ heißt Anfangspunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $, $ B $ heißt Endpunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $ {\overline {AB}} $. Pfeilklassen Definition parallelgleich Definition P.1 (parallelgleich) Zwei Pfeile Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{AB} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{CD} heißen parallelgleich, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |AB|=|CD| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): AB \|| CD Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{AB} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{CD} sind gleichorientiert. Eigenschaften Satz P.1 Die Relation parallelgleich ist eine ÄR auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene. Zu zeigen: a) Reflexivität: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} \sim \vec{a} b) Symmetrie: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a} c) Transitivität: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c} --Jessy* 17:08, 11. Dez. 2012 (CET) Definition Pfeilklasse Definition P.2 (Pfeilklasse) Eine Pfeilklasse des Raumes bzw. der Ebene ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation parallelgleich auf der menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene. Addition von Pfeilklassen Definition der Addition von Pfeilklassen Definition P.3 (Addition auf der Menge der Pfeilklassen) Es seien $ {\vec {u}} $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} zwei Pfeilklassen. Ferner seien... Ich habe versucht die Definition zu vervollständigen, stimmt das so? --Jessy* 17:20, 11. Dez. 2012 (CET) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{AB} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{BN} jeweils ein Repäsentant von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} und einer von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} . Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{AN} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{AN} ist ein Repräsentant der Pfeilklasse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{w}