Die abelsche Gruppe der geordneten Tripel reeller Zahlen 2012 13

Die nichtleere Menge ${\mathbb{ℝ}}^3:=\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ Die additive Verknüpfung Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \forall \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3: \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\z_1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1 + z_2\end{pmatrix}\} Abgeschlossenheit der additiven Verknüpfung $\oplus$auf ${\mathbb{ℝ}}^2$ Folgt unmittelbar aus der Abgeschlossenheit der Addition auf $\mathbb{ℝ}$ Die Assoziativität von $\oplus$ auf $\mathbb{ℝ}$ ... Ergänzen Sie selbst. Das neutrale Element bzgl. $\oplus$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ leistet das Verlangte. (Überzeugen Sie sich davon.) Die Inversen Elemente bzgl. $\oplus$ $\mathrm{\forall }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^2:\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ Kommutativität von $\oplus$ Folgt unmittelbar aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen.