Lösung von Aufgabe 6.9

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A,B$ und $C$ ein und derselben Geraden $g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $A,B$ und $C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also $A,B$ und $C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($A,B$ und $C$)

Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: $\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{koll}\{A,B,C\}$	Voraussetzung
(II)	es gilt eine der drei Gleichungen: $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$ $\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$	(I), Axiom II/3
(III)	$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$	(II), Def (Zwischenrelation)
(IV)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt o.B.d.A. $\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ und $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$
(V)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$	(IV), (Axiom II/3)
(VI)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AB\right|-\left|CB\right|=\left|AC\right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|-\left|BC\right|$	(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII)	$\left|AB\right|+2\left|BC\right|=\left|AB\right|$	(VII), + $\left|BC\right|$
(IX)	$2\left|BC\right|=0$	(VIII), - $\left|AB\right|$
(X)	Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorausgegangene Diskussion

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A,B$ und $C$ ein und derselben Geraden $g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $A,B$ und $C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also $A,B$ und $C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($A,B$ und $C$)

Behauptung

$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{koll}\{A,B,C\}$	Voraussetzung
(II)	Für drei beliebige Punkte $A,B$ und $C$ gilt: $\left|AB\right|+\left|BC\right|\ge \left|AC\right|.$	Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$ $\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$	Axiom II/3.1 Axiom II/3.2 Axiom II/3.3
(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(IV)	$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$	Def (Zwischenrelation)
(V)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt $\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ und $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$
(VI)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$	(Axiom II/3)
(VII)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AB\right|-\left|CB\right|=\left|AC\right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|-\left|BC\right|$	(VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX)	$\left|AB\right|+2\left|BC\right|=\left|AB\right|$	(VIII), + $\left|BC\right|$
(X)	$2\left|BC\right|=0$	(IX), - $\left|AB\right|$
(XI)	Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

= Versuch II ====

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $A,B$ und $C$ ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweis

Es seien also $A,B$ und $C$ drei Punkte.
Voraussetzungen:

$A,B$ und $C$ sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

Behauptung

$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{koll}\{A,B,C\}$	Voraussetzung
(II)	$A,B$ und $C$ paarweise verschieden	Voraussetzung
(III)	(1.) $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ (2.) $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$ (3.) $\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$	I., Axiom II/3
(IV)	(1.)$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ (2.) $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ (3.) $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$	III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
(V)	Behauptung ist wahr

--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)