Serie 06 12 13

Aufgabe 6.1

Zeigen Sie, dass die Vektoren $ {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}} $, $ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $, $ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $ und $ {\vec {d}}={\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\3\end{pmatrix}} $ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 6.2

Sei V ein reeler Vektorraum und $ a,b,c,d\in V $. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
$ v_{1}=a+b+c $, $ v_{2}=2a+2b+2c-d $, $ v_{3}=a-b-e $, $ v_{4}=5a+6b-c+d+e $, $ v_{5}=a-c+3e $, $ v_{6}=a+b+d+e $

Aufgabe 6.3

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $ \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}=x_{3}\} $
b)$ \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0;2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\} $

Aufgabe 6.4

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vekotrs Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \vec{x}=\begin{pmatrix} 19 \\ 5 \\ -17 \end{pmatrix}\ bezüglich der Basis $ B=\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}-4\\-5\\-6\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}7\\8\\7\end{pmatrix}}\} $