Serie 06 12 13

Aufgabe 6.1

Zeigen Sie, dass die Vektoren $ {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}} $, $ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $, $ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $ und $ {\vec {d}}={\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\3\end{pmatrix}} $ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 6.2

Sei V ein reeler Vektorraum und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a,b,c,d, e \in V . Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1=a+b+c , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_2=2a+2b+2c-d , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_3=a-b-e , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_4=5a+6b-c+d+e , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_5=a-c+3e , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_6=a+b+d+e

Aufgabe 6.3

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}
b)$ \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0;2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\} $

Aufgabe 6.4

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vekotrs Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\begin{pmatrix} 19 \\ 5 \\ -17 \end{pmatrix}\ bezüglich der Basis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\}