Lösung Aufgabe 9.7 WS 12 13

Aufgabe 9.7 In der Ebene $\epsilon$ seien eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ mit $P\in g$ gegeben. Beweisen Sie: $\mathrm{\exists }s\subset \epsilon :P\in s\wedge s\perp g$ $s_1\subset \epsilon \wedge P\in s_1\wedge s\perp g\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{s}_2:s_2\subset \epsilon \wedge P\in s_2\wedge s_2\perp g\wedge s_2\equiv ̸s_1$ Tippfehler: $s_1\subset \epsilon \wedge P\in s_1\wedge s_1\perp g\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{s}_2:s_2\subset \epsilon \wedge P\in s_2\wedge s_2\perp g\wedge s_2\equiv ̸s_1$ Lösung von User ... Lautet die Voraussetzung: Existenz ebene und g Element der ebene und p Element g Lautet die Behauptung : P Element s und s orthogonal zu g --Hauleri 14:36, 25. Jan. 2013 (CET) Bemerkung --*m.g.* 13:25, 26. Jan. 2013 (CET) Das steht so nirgends: Voraussetzung: In der Ebene $\epsilon$ seien eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ mit $P\in g$ gegeben. Wir gehen also von einer Ebene $\epsilon$ aus. Ob die Existiert schert uns wenig. In $\epsilon$ möge eine Gerade $g$ gelegen sein und auf dieser Geraden ein Punkt $P$. Sollte eine derartige Konstellation vorliegen, wissen wir Folgendes: Behauptung 1 $\mathrm{\exists }s\subset \epsilon :P\in s\wedge s\perp g$ Wir übersetzen: Mathe Deutsch $\mathrm{\exists }s$ Es existiert eine Gerade $s$, $\subset \epsilon$ die zu der Ebene $\epsilon$ gehört : und die folgenden Eigenschaften hat:, $P\in s$ der Punkt $P$ gehört zu $s$ bzw. anders ausgedrückt $s$ geht durch $P$ $\wedge$ und $s\perp g$ $s$ steht senkrecht auf $g$ Noch mal neu: Zu jeder Geraden $p$ und jedem Punkt $P$ auf dieser Geraden $g$ gibt es in jeder Ebene, die $g$ enthält eine zu $g$ senkrechte Gerade $s$, die durch $P$ geht. Oder: In jeder Ebene, die eine Gerade enthält, gibt es in jedem Punkt dieser Geraden eine Senkrechte zu der Geraden. Behauptung 2 $s_1\subset \epsilon \wedge P\in s_1\wedge s_1\perp g\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{s}_2:s_2\subset \epsilon \wedge P\in s_2\wedge s_2\perp g\wedge s_2\equiv ̸s_1$ Wir sehen den Implikationspfeil und setzen vor alles, was vor dem Pfeil steht ein Wenn: Wenn Mathe Deutsch $s_1\subset \epsilon$ die Gerade $s_1$ zur Ebene $\epsilon$ gehört $\wedge$ und $P\in s_1$ durch den Punkt $P$ geht $\wedge$ und $s_1\perp g$ senkrecht auf $g$ steht Jetzt kommt der Implikationspfeil $\Rightarrow$ Wir übersetzen Ihn mit Dann: Mathe Deutsch $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{s}_2$ Existiert keine Gerade $s_2$ 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 Lösung von User ...