Übungen 03

Aufgabe 1

Gegeben sind drei Ebenengleichungen $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1$, $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2$ und $a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3$.
Geben Sie drei Ebenen dieser Form an, sodass das LGS dazu

a) genau eine Lösung
b) keine Lösung
c) eine ein-parametrige Lösung
d) eine zwei-parametrige Lösung
hat.
Was bedeutet das anschaulich für die Lage der Ebenen?

Aufgabe 2

Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene:
a) $g:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und $e:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

b) $g:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 15\end{array}\right)$ und $e:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 6\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Aufgabe 3

Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem (bestehend aus zwei Gleichungen), das die Gerade durch die Punkte $P(0|5|-2)$ und $Q(14|3|2)$ beschreibt. Tipp: Überlegen Sie sich, was das geometrisch repräsentiert.

Lösungen_Übung03