Drehungen (2012 13)

Definitionsmöglichkeiten

Definition 1
Unter einer Drehung $D_{Z,\alpha }$ um den Punkt Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ versteht man eine Abbildung $\phi$ der Ebene $ϵ$ auf sich, für die gilt:
1. Z ist Fixpunkt bezüglich $\phi$<br\> 2. $\mathrm{\forall }A:|ZA|=|Z\phi (A)|$ mit $A\in ϵ$ und $A\equiv ̸Z$
3. $\mathrm{\forall }A:\mathrm{\angle }AZ\phi (A)=\alpha$ mit $A\in ϵ$ und $A\equiv ̸Z$

Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.


Definition 2
Unter der Drehung $D_{Z,\alpha }$ um den Punkt Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_a$ und $S_b$ mit $a\cap b=Z$ und $|\alpha |=2|\mathrm{\angle }(a,b)|$

Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung $D_{Z,\alpha }$, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_a$ und $S_b$ mit $a\cap b=Z$ und $|\alpha |=2|\mathrm{\angle }(a,b)|$ ist.


Definition 3
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.

Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.


--Jessy* 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)

Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung $D_{Z,\alpha }$

Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene $ϵ$ und $D_{Z,\alpha }$ eine Drehung der Ebene $ϵ$ mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel $\alpha$.

Drehungen als Bewegungen

Satz 6.1
Jede Drehung ist eine Bewegung.

Legt man Definition 1 zugrunde so ergibt sich der Beweis direkt aus 2. der Definition $\mathrm{\forall }A:|ZA|=|Z\phi (A)|$ mit $A\in ϵ$ und $A\equiv ̸Z$
--Gubbel 20:11, 5. Mai 2013 (CEST)

Sätze zu Drehungen

Satz 6.2
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ ist die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel $\beta$ gilt: $|\beta |=|\frac{\alpha }{2}|$

Satz 6.3
Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel $\alpha =2\cdot \mathrm{\angle }(g,h)$

$\to$ aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Satz 6.4
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF $S_h\circ S_g$ zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$ für die gilt: g $\cap$ h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.

Satz 6.5
Jede von der Drehung mit 0°< |$\alpha$| <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.

$\to$ aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.