Lösung von Aufgabe 7.10

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), $\overline{AM}$ = $\overline{MB}$

(gemeint ist: $|AM|=|MB|$) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

$\overline{AM}$ ist eindeutig für $\overline{AB}$ definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)

noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$, die Element von $\overline{AB}$ sind.

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{\exists }{M}_1\in \overline{AB}:\left|A{M}_1\right|=\left|M_{1}B\right|$ $\mathrm{\exists }{M}_2\in \overline{AB}:\left|A{M}_2\right|=\left|M_{2}B\right|$	Annahme
(II)	$\mathrm{Zw}(A,M_1,B)$ $\mathrm{Zw}(A,M_2,B)$	(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III)	$\left|A{M}_1\right|+\left|M_{1}B\right|=\left|AB\right|$ $\left|A{M}_2\right|+\left|M_{2}B\right|=\left|AB\right|$	Def (zw), (II)
(IV)	$2\left|A{M}_1\right|=\left|AB\right|$ $2\left|A{M}_2\right|=\left|AB\right|$	(I), (III), Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(V)	$\left|A{M}_1\right|=\frac{\left|AB\right|}{2}$ $\left|A{M}_2\right|=\frac{\left|AB\right|}{2}$	Rechnen in $\mathbb{ℝ}$, (IV)
(VI)	$\left|A{M}_1\right|=\left|A{M}_2\right|$	(V), Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(VII)	$M_1\equiv M_2$ Widerspruch zur Annahme$M_1\equiv ̸M_2$ Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.	(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)