Übungen 05

Pfeilklassen und $ \mathbb {R} $Vektorräume

Aufgabe 5.1

Ein Vektor $ {\vec {v}} $ wird durch einen Pfeil $ {\vec {AB}} $ repräsentiert. Geben Sie $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

Aufgabe 5.2

Gegeben ist eine Verschiebung $ {\vec {v}} $ des Raumes durch einen Verschiebungspfeil $ {\vec {PP'}} $ mit $ P(2,1,3) $ und $ P'(5,3,-1) $.

a) Geben Sie den Verschiebungsvektor $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte $ A(3,-2,4) $ und $ B(3.5,2.5,-5) $ bei der Verschiebung $ {\vec {v}} $ an.

Aufgabe 5.3

Durch $ {\vec {v_{1}}}={\begin{pmatrix}5\\3\\2\end{pmatrix}} $ und $ {\vec {v_{2}}}={\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}} $ werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt $ P(-3,-3,3) $ wird zunächst um $ {\vec {v_{1}}} $ und dann um $ {\vec {v_{2}}} $ verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt $ P' $ und $ P'' $ an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor $ {\vec {v}} $ an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen $ {\vec {v_{1}}} $ und $ {\vec {v_{2}}} $ beschreibt.

Aufgabe 5.4

Zeigen Sie, dass die Menge $ P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}; $ mit $ a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \} $ der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen $ + $ und $ \cdot $ für beliebige $ p,q\in P $ mit$ p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} $ und $ q(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0} $ sowie $ \lambda \in \mathbb {R} $ ein Vektorraum ist:

$ (p+q)(x):=p(x)+q(x)=(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}) $,

$ (\lambda \cdot p)(x):=\lambda \cdot p(x)=\lambda a_{2}x^{2}+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0} $