Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

Voraussetzung	Geradenspiegelung an g $Sg$ mit $A^{\prime }=Sg(A)$ und $B^{\prime }=Sg(B)$ und $P\in A{B}^{+}$
Behauptung	$Sg(AB+)=A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$ d.h. $P^{\prime }\in A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$

Es musshttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Button_underline.png also gezeigt werden, dass das Bild $P^{\prime }$ eines beliebigen Punkts $P$ der Halbgerade auch auf dem Bilder der Halbgeraden liegt.

Beweisschritt	Begründung
1 $P\in A{B}^{+}$	Voraussetzung
2 $P\in \overline{AB}\cup \{P|ZW(A,B,P)\}$	1), Def Halbgerade
3 $P\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$	Streckentreue
4 $P\in \overline{AB}+\overline{BP}=\overline{AP}$	Def Zwischen
5 $P\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overline{B^{\prime }{P}^{\prime }}=\overline{A^{\prime }{P}^{\prime }}$	Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
6 $P^{\prime }\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}\cup \{P^{\prime }|ZW(A^{\prime },B^{\prime },P^{\prime })\}$	Def Zwischen 3), 5)
7 $P^{\prime }\in A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$	Def Halbgerade 6)

--Regenschirm 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)