Übungen 09

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Vektoren $ {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}} $, $ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $, $ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $ und $ {\vec {d}}={\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\3\end{pmatrix}} $ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 2

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren $ v_{1}=(4,4,4),\;v_{2}=(2,4,6) $ und $ v_{3}=(3,4,5) $ ein Erzeugendensystem von$ {\mathbb {R} }^{3} $ bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche $ t\in {\mathbb {R} } $ die Vektoren $ v_{1}=(1,3,4)\,,\;\,v_{2}=(3,t,11)\,,\;\,v_{3}=(-4,-4,0) $ linear abhängig in $ {\mathbb {R} }^{3} $ sind.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$ X=\{{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\-2\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}\}. $
Gilt $ <X>=\mathbb {R} ^{4} $?

Aufgabe 4

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $ \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}=x_{3}\} $
b)$ \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{1}+3x_{2}+2x_{4}=0;2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\} $

Aufgabe 5

Sei V ein reeler Vektorraum und $ a,b,c,d,e\in V $. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
$ v_{1}=a+b+c $, $ v_{2}=2a+2b+2c-d $, $ v_{3}=a-b-e $, $ v_{4}=5a+6b-c+d+e $, $ v_{5}=a-c+3e $, $ v_{6}=a+b+d+e $

Aufgabe 6

Austauschlemma:
Sei $ B=(v_{1},v_{2}....v_{r}) $Basis und $ b=\lambda _{1}v_{1}+...+\lambda _{n}v_{n} $. Falls $ \lambda _{k}\neq 0 $ ist (für ein $ k\in \mathbb {N} ,1\leq k\leq n) $, so ist auch die Menge $ B'=\{v_{1},...v_{k-1},b,v_{k+1}...,v_{n}\} $ eine Basis von V.

Beweisen Sie das Lemma.

(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)

Aufgabe 7

Konstruieren Sie eine Basis für den von $ v_{1}=(1,-2,0,1)\,,\;\,v_{2}=(0,0,2,5)\,,\;\,v_{3}=(-2,4,2,3) $

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von $ {\mathbb {R} }^{4} $.