Benutzer:Andreas

Satz: Jede Drehung $D_{Z,\beta}$ ist eine Bewegung.

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel $\beta$
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) $\overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) $\angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) $\|\alpha'\|=\|\beta'\|+\|\alpha - \beta\|$ $\|\alpha'\|= \|\alpha\|$	rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da $\beta = \angle {PZP'}$ und $\beta' = \angle {QZQ'}$
5) $\triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'}$	folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) $\overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'}$	folgt aus Schritt 5
7) $\|PQ\|=\|P'Q'\|$	folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Voraussetzung: $\phi$ ist eine Bewegung, $\phi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong \beta'$

Beweisschritt	Begründung
1. $P \ne P', Q \ne Q'$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong \alpha'$ $\|\alpha\|= \|\alpha'\|$	folgt aus Schritt 5
7. $\|\beta'\|=\|\alpha'\|+\|\beta\|-\|\alpha\|$ $\|\beta'\|=\|\beta\|$ $\beta' \cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6