Schubspiegelung (2011/12)

Die Idee

Entsprechend der Bezeichnung Schubspiegelung würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sieht die folgende Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus. Provided ID could not be validated.

Die Definition

Definition: (Schubspiegelung)

Es sei $V=S_b\circ S_a$ eine Verschiebung und $g$ eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen $a$ und $b$ steht. Die NAF $S_g\circ V$ heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse $g$.

Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?

Spiegelschiebung?

Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition Schubspiegelung genügen.

Satz SCH/1

Es sei $S_g\circ V$ eine Schubspieglung. Dann gilt $S_g\circ V=V\circ S_g$

Beweis

Es sei $S_g\circ V=S_g\circ (S_b\circ S_a)$.

Die Geraden $a,b,g$ haben damit die folgenden Eigenschaften.

1. $a\Vert |b$
2. $g\perp a$
3. $g\perp b$

Beweis der Kommutativität $S_g\circ (S_b\circ S_a)=(S_b\circ S_a)\circ S_g$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$SC{H}_g=S_g\circ (S_b\circ S_a)$	die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen
(II)	$SC{H}_g=(S_g\circ S_b)\circ S_a$	(I), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(III)	$SC{H}_g=(S_b\circ S_g)\circ S_a$	(II), 3.
(IV)	$SC{H}_g=S_b\circ (S_g\circ S_a)$	(III), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(V)	$SC{H}_g=S_b\circ (S_a\circ S_g)$	(IV), 2.
(VI)	$SC{H}_g=(S_b\circ S_a)\circ S_g$	(VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(VII)	$S_g\circ (S_b\circ S_a)=(S_b\circ S_a)\circ S_g$	(I), (VI)

Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition Schubspiegelung sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.

Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs Schubspieglung letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.

Satz SCH/2

Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition Schubspiegelung.

Beweis

Wir gehen aus von der NAF $S_g\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\blue“): {\displaystyle \blue \left( S_b \circ S_a \right)} mit $a\Vert |b$ und $g\perp ̸a,g\perp ̸b$. Es gelte $g\cap a=S_1,g\cap b=S_2$.

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Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_g \circ S_b \right)} $\circ S_a$

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Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_g \circ S_b \right)} ist eine Drehung um $S_2$ mit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen $b$ und $g$.

Dieselbe Drehung erhält man, wenn $b$ und $g$ durch zwei Geraden $b^{\prime }$ und $g^{\prime }$ mit $b^{\prime }\cap b^{\prime }=\{S_2\},\mathrm{\angle }(b,g)\widetilde{=}\mathrm{\angle }(b^{\prime },c^{\prime })$ ersetzt und Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red S_{g'} \circ S_{b'}} verwendet.

Wir wählen $b^{\prime }$ derart, dass $b^{\prime }\perp a$ gilt.

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Bisher haben wir damit die NAF

$S_g\circ (S_b\circ S_a)$

durch die NAF

(*) Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_{g'} \circ S_{b'} \right)} $\circ S_a$

ersetzt

Wegen der bereits mehrfach erwähnten Assoziativität dürfen wir in (*) neu klammern

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und erhalten (**) $S_{g^{\prime }}\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_{b'} \circ S_a \right)} .

Weil Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red b' \perp a} gilt ist (**) identisch zu

(***) $S_{g^{\prime }}\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)}

Die Drehung Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)} kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)} ersetzt werden. Wie wählen Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\red“): {\displaystyle \red a'} derart, dass $a^{\prime }\perp g^{\prime }$ gilt. Aus $b^{″}\perp a^{\prime }$ folgt dann unmittelbar $b^{″}\Vert |g^{\prime }$

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In (***) dürfen wir wiederum neu klammern und erhalten:

(****) $(S_{g^{\prime }}\circ S_{a^{\prime }})\circ S_{b^{″}}$

Wegen $g^{\prime }\perp a$`ist (****) identisch zu

(*****) $(S_{a^{\prime }}\circ S_{g^{\prime }})\circ S_{b^{″}}$

Neu klammern in (*****) liefert

$S_g\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\blue“): {\displaystyle \blue \left( S_b \circ S_a \right)} $\equiv$$S_{a^{\prime }}\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\blue“): {\displaystyle \blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) }

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$S_{a^{\prime }}\circ$Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\blue“): {\displaystyle \blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) } erfüllt die Bedingungen der Definition Schubspiegelung.

q.e.d.

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