Auftrag der Woche 4 (WS 16 17)

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.

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Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte $A$ und $B$. Gesucht ist $M:=\{Q|\overline{AQ}\cong \overline{QB}\}$.

Sei $r\in \mathbb{ℝ}$ fest aber beliebig.

1. Zeichne einen Kreis $c_r$ mit Radius $r$ um $A$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $A$).
2. Zeichne einen Kreis $d_r$ mit Radius $r$ um $B$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $B$).
3. Bestimme $M_r$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ sowohl von $A$ als auch von $B$) folgendermaßen:
   1. Falls kein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Es sei $M_r=\{\}$.
   2. Falls ein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Nenne den Schnittpunkt $Q$, es sei $M_r=\{Q\}$.
   3. Falls zwei Schnittpunkte von $c$ und $d$: Nenne die beiden Schnittpunkte $Q_r^1$ und $Q_r^2$, es sei $M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}$.

$M$ ergibt sich nun aus der Vereinigung aller $M_r$ für $r\in \mathbb{ℝ}$, also: $M=\bigcup _{r\in \mathbb{ℝ}}{M}_r$

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun $r=\frac{\overline{AB}}{2}$: $Q$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun $r\in \mathbb{ℝ}\wedge r>\overline{QA}$:

• Das Viereck $A{Q}_r^{1}B{Q}_r^2$ bildet eine Raute mit Seitenlänge $r$.
• Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen $Q_r^1$ und $Q_r^2$ auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$.
• Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich $\overline{Q{Q}_r^1}=\overline{Q{Q}_r^2}=\sqrt{r^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{QA}}}$ und da $f(r)=\sqrt{r^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{QA}}}$ für $r>\overline{QA}$ genau einen Wertebereich von $(0,\mathrm{\infty })$ besitzt, ergibt die Vereinigung aller $M_r$ genau die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ ohne den Mittelpunkt von $A$ und $B$.

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von $A$ und $B$.

Lösung von Tutor Alex

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2. Lösung von AlanTu