Anregungen

Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel

GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?
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Copyright by Ryan Hirst (GeoGebra Material)

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt.

Weiterhin sei $ \alpha  $ der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden $ BC^{+} $ entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: 

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x=(p+q)\cdot cos(\alpha)


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y=q \cdot sin(\alpha)




Hierbei ist p die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB}
 und q die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{BC}.
 Nun was kann man mit diesem Gerät machen? 

Es handelt sich hier um einen Ellipsograph. Neben der Gärtnerkonstruktion, kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. 


Durch Umformen (mittels Satz des Pythagoras, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1
) erhalten wir:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 


Dies ist eine Ellipsengleichung.


Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button rolling circle).
--Tutor: Alex (Diskussion) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)

Zykloide

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Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. 

Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen.

Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine Epizykloide. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine Hypozykloide. 

Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert. Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.

Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem Trammel of Archimedes ist R=6 und r=3.

In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren.


Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x=r\cdot (t - sin(t))


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y=r\cdot (1 - cos(t))



Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (Wälzwinkel).

Möchte man eine gewissen Anzahl an n Schleifen, gilt folgendes Verhältnis:

$ n={\frac {max(R,r)}{ggT(R,r)}} $

Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): max
 das Maximum der zwei Radien und der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): ggT
, größte gemeinsame Teiler beider Radien.


Für was sind Zykloiden gut? Heute in der Getriebetechnik müssen mehrere Zahnräder und Zahnstangen verzahnt werden. Zykloiden dienen hier als Modell.

Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutze man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem darstellen.
--Tutor: Alex (Diskussion) 20:25, 1. Jan. 2017 (CET)