Implikationen SoSe 2017

Implikationen Generelle Kennzeichnung von Implikationen Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt: Wenn $ a $ dann $ b $. Aus $ a $ folgt $ b $. $ a $ impliziert $ b $. $ b $ ist eine Folgerung aus $ a $. Unter der Voraussetzung, dass $ a $ gilt, gilt auch $ b $. $ a $ ist hinreichend dafür, dass $ b $ gilt. $ a\Rightarrow b $ Die Aussage $ a $ heißt in der Implikation $ a\Rightarrow b $ Voraussetzung, die Aussage $ b $ wird Behauptung genannt. Beispiele Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3 Wenn die Quersumme $ {\overline {a}} $einer natürlichen Zahl $ a $ durch $ 3 $ teilbar ist, dann ist auch die Zahl $ a $ durch $ 3 $ teilbar. In Formelsprache: $ \forall a\in \mathbb {N} :3|{\overline {a}}\Rightarrow 3|a $ Voraussetzung: $ 3|{\overline {a}} $ Behauptung: $ 3|a $ Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen Für alle natürlichen Zahlen $ a,b,t $ gilt: Wenn $ t $ die Zahlen $ a $ und $ b $ teilt, dann teilt $ t $ auch die Summe $ a+b $. In Formelsprache: $ \forall a,b,t\in \mathbb {N} : $ $ t|a\land t|b\Rightarrow t|(a+b) $ Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden: V1: $ t|a $ V2: $ t|b $ V: $ t|a\land t|b $ Behauptung: $ t|(a+b) $ Implikation 3: Nebenwinkelsatz Wenn $ \alpha $ und $ \beta $ Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen $ 180^{\circ } $ In anderer Formulierung ohne wenn-dann: Nebenwinkel ergänzen sich zu $ 180^{\circ } $ Voraussetzung: $ \alpha $ und $ \beta $ sind Nebenwinkel Behauptung: $ \alpha $ und $ \beta $ sind supplementär. Implikation 4: Scheitelwinkelsatz Wenn die beiden Winkel $ \alpha $ und $ \beta $ Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe. alternative Formulierung ohne wenn-dann: Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. Voraussetzung $ \alpha $ und $ \beta $ sind Scheitelwinkel Behauptung $ |\alpha |=|\beta | $ bzw. $ \alpha \cong \beta $ Implikation 5: Nonsens Wenn die Gerade $ g $ durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $ geht und jede der drei Seiten $ {\overline {AB}},{\overline {BC}},{\overline {AC}} $ geht, dann ist $ {\sqrt {2}} $ eine rationale Zahl. Voraussetzung: $ {\text{nkoll}}(A,B,C)\land A,B,C\not \in g\land g\cap {\overline {AB}}\not =\emptyset \land g\cap {\overline {BC}}\not =\emptyset \land g\cap {\overline {AC}}\not =\emptyset $ Behauptung: $ \exists n,m\in \mathbb {N} :{\frac {n}{m}}={\sqrt {2}} $