Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017

Lösung Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017

Übungsaufgabe, Hinweise

1. Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers
2. Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse $g^{-1}$ eines beliebigen Elementes $g$ von rechts mit $g$:$g\odot g^{-1}$
3. Ersetzen Sie $g$ durch $e\odot g$
4. Ersetzen Sie $e$ durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von $g$ mit dem Linksinversen von $g$: $(g^{-1}{)}^{-1}\odot g^{-1}$.
5. Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...

Beweis:

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Es sei $g^{-1}$ das Linksinverse von $g$.

Wir muliplizieren $g^{-1}$ von rechts mit $g$:
(I) $g\cdot g^{-1}$
(II) $g\cdot g^{-1}=e\cdot g\cdot g^{-1}$
Wissen: Auch $g^{-1}$ hat ein Linksinverses: $(g^{-1}{)}^{-1}$
Ersetzen $e$ durch $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$

(III) $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}\cdot g\cdot g^{-1}$
(IV) geschicktes Klammern: $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot (g^{-1}\cdot g)\cdot g^{-1}$
(V) Klammer berechnen:$g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot e\cdot g^{-1}$
(VI) Mit $e$ multiplizieren ist geschenkt ... $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$
(VII) $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}$ bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von $g$ mieinander multiplizieren.
(VII) also $(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}=e$
(IX) und damit $g\cdot g^{-1}=(g^{-1}{)}^{-1}\cdot g^{-1}=e$
(X) oder einfach: $g\cdot g^{-1}=e$ und damit: Das Linksinverse $g^{-1}$ von $g$ ist auch sein