Gruppendefinition (lang)

Definition 1: (Algebraische Struktur) Eine Menge $S$ zusammen mit einer Operation $o$ oder Relation $r$ auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. Schreibweise: $[S,o]$ bzw $[S,r]$ Definition 2: (Halbgruppe) Eine algebraische Struktur $[H,\odot ]$ heißt Halbgruppe, wenn $\odot$ auf $H$ abgeschlossen und assoziativ ist. D.h. es gilt: (Abgeschlossenheit) $\mathrm{\forall }a,b\in H:a\odot b\in H$ (Assoziativität) $\mathrm{\forall }a,b,c:(a\odot b)\odot a=a\odot (b\odot c)$. Definition 3: (Monoid) Eine Halbgruppe $[M,\odot ]$ heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat: (Einselement) $\mathrm{\exists }e\in M\mathrm{\forall }a\in M:e\odot a=a\odot e=a$ Definition 4: (Gruppe) Ein Monoid $[G,\odot ]$ heißt Gruppe, wenn jedes Element von $G$ in $G$ ein inverses Element bzgl. $\odot$ hat: (inverse Elemente) $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\odot a^{-1}=a^{-1}\odot a=e$