Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Lösung von Aufgabe 12.5

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a$ und $b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\alpha$ und $\beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $c$ mit $a$ und $b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $a$ und $b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a,b$ und $c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $c$ möge $a$ in dem Punkt$A$ und die Gerade $b$ in dem Punkt $B$ schneiden. $\alpha$ und $\beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von $a$ und $b$ mit $c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\alpha \cong \beta$

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Behauptung:

$a\Vert b$

Annahme:

$a\Vert b$

Unter Berücksichtigung von $a\equiv ̸b$ hätten die beiden Geraden $a$ und $b$ entsprechend der Annahme genau einen Punkt $C$ gemeinsam.

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Bezüglich des Dreiecks $\overline{ABC}$ ist $\beta$ nun ein Außenwinkel.

Der Winkel $\alpha$ ist bezüglich $\beta$ ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt $beta$ größer als $alpha$. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): $\alpha \cong \beta$.