Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen
ax + by + c = 0
$ {\begin{aligned}ax+by=c\\a,b,c\in \mathbb {R} \\x,y\in \mathbb {R} ,\end{aligned}} $
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Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c
Es seien $ a,b,c\in \mathbb {R} $ , beliebig aber fest, $ a,b $ nicht gleichzeitig $ 0 $,
$ x,y\in \mathbb {R} $, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
(I) $ ax+by=c $
Satz 1:
- Die Gleichung (II) $ ax+by=c $ beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.
Beweis:
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: $ y=mx+b $, $ m,b\in \mathbb {R} $, beliebig aber fest, $ x,y\in \mathbb {R} $ variabel.
Wir führen zwei Beweise:
- Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
- Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.
Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018
Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form $ ax+by=c $
Voraussetzung
Wir schließen aus, dass $ a $ und $ b $ gleichzeitig $ 0 $ sind: $ a^{2}+b^{2}\not =0 $
Fall 1: $ b\not =0 $
$ {\begin{aligned}ax+by&=c\\by&=-ax+c\\y&={\frac {-ax+c}{b}}\\y&=-{\frac {a}{b}}x+{\frac {b}{c}}\end{aligned}} $
$ L=\left\{(x\vert y)\left\vert {\begin{aligned}x&=t\\y&=-{\frac {a}{b}}t+{\frac {b}{c}}\end{aligned}};t\in \mathbb {R} \right.\right\} $
Falls $ a=0 $ vereinfacht sich die Lösungsmenge $ L $ zu:
$ L=\left\{(x\vert y)\left\vert {\begin{aligned}x&=t\\y&={\frac {b}{c}}\end{aligned}};t\in \mathbb {R} \right.\right\} $
Fall 2: $ b=0 $
$ {\begin{aligned}ax&=c\\x&={\frac {c}{a}}\end{aligned}} $
$ L=\left\{(x\vert y)\left\vert {\begin{aligned}x&={\frac {c}{a}}\\y&=t\end{aligned}};t\in \mathbb {R} \right.\right\} $
