Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 3 SoSe 2018

Aufgabe 3.1 Es seien $\bar{a}$ und $\bar{b}$ zwei Restklassen bzgl. des selben Moduls $n$. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit Restklassenaddition: $\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in \bar{a}\wedge b_1,b_2\in \bar{b}:\overline{a_1+b_1}=\overline{a_2+b_2}$. Aufgabe 3.2 Auf der Menge aller Brüche $\mathbb{𝔹}$ definieren wir deine Relation quotientengleich ${=}_Q$: $\mathrm{\forall }\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in \mathbb{𝔹}:\frac{a}{b}{=}_Q\frac{c}{d}:\iff a\cdot d=b\cdot c.$ Zeigen Sie, dass ${=}_Q$ eine Äquivalenzrelation ist. Aufgabe 3.3 Die Relation quotientengleich ${=}_Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Brüche und zieht damit eine Klasseneinteilung nach sich. Die Menge aller Äquivalenzklassen nach ${=}_Q$ ist die Menge der gebrochenen Zahlen ${\mathbb{\mathbb{Q}}}^{+}$. Eine gebrochene Zahl $\overline{\frac{a}{b}}$ ist damit eine Äquivalenzklasse nach der Relation ${=}_Q$, d.h. der Bruch $\frac{e}{f}$ gehört genau dann zu $\overline{\frac{a}{b}}$, wenn $\frac{e}{f}{=}_Q\frac{a}{b}$ gilt. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation gebrochener Zahlen. Aufgabe 3.4 Aufgabe 3.5 Aufgabe 3.6 Aufgabe 3.7 Aufgabe 3.8 Aufgabe 3.9 Aufgabe 3.10