Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{3}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{5}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ Wir wählen aus ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$ die folgende Teilmenge $2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$aus: $2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6:=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}$ $[2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$ $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{4}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\epsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\mathrm{\forall }P\in \epsilon \mathrm{\exists }{P}^{\prime }\in \epsilon :P^{\prime }=\beta (P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :P^{\prime }=\beta (P)\wedge P^{*}=\beta (P)\Rightarrow P^{\prime }=P^{*}$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\mathrm{\forall }P,Q\in \epsilon :|PQ|=|\beta (P)\beta (Q)|$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\mathrm{B}$ bezeichnen. Die Verknüpfung wir wählen als Verknüpfung auf $\mathrm{B}$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$. $[\mathrm{B},\circ ]$ ist Gruppe Abgeschlossenheit Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen. Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist. Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist: $\begin{array}{ccc}(1)& |PQ|=|\alpha (P)\alpha (Q)|& \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend}\\ (2)& |\alpha (P)\alpha (Q)|=|\beta (\alpha (P))\beta (\alpha (Q))|& \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend}\\ (3)& |PQ|=|\beta (\alpha (P))\beta (\alpha (Q))|& (1),(2)\end{array}$ Assoziativität Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ. Einselement Wir betrachten die Abbildung $\mathrm{id}$, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet: $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :\mathrm{id}(P)=P$${\displaystyle }$ Damit ist $\mathrm{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\mathrm{id}(A)=A\wedge \mathrm{id}(B)=B,\mathrm{\forall }A,B\in \epsilon$ gilt natürlich auch $|AB|=|\mathrm{id}(A)\mathrm{id}(B)|$. $\mathrm{id}$ erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes: $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :\beta \circ \mathrm{id}(P)=\mathrm{id}(\beta (P))=\beta (P)$ und somit $\mathrm{id}\circ \beta =\beta$. inverse Elemente Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung $\beta$ eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt $\mathbb{ℝ}\in \epsilon$ bei $\beta$ ein und nur ein Urbild $Q\in \epsilon$ hat. Injektivität von $\beta$ Sei $P^{\prime }$ das Bild von $P$ bei der Bewegung $\beta$. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt $Q\in \epsilon ,Q\equiv ̸P$ gibt, der durch $\beta$ auch auf $P^{\prime }$ abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt $Q$ gibt. Dann gilt: $0=|P^{\prime }{P}^{\prime }|=|PQ|$ und damit $P\equiv Q$, was ein Widerspruch zur Annahme $P\equiv ̸Q$ ist. Surjektivität von $\beta$ Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt $Q\in \epsilon$ bei der Bewegung $\beta$ ein Urbild hat. Annahme: $Q$ hat kein Urbild bei $\beta$. Da jeder Punkt der Ebene $\epsilon$ durch $\beta$ auf genau einen Punkt der Ebene $\epsilon$ abgebildet wird und der Punkt $Q$ kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ aus $\epsilon$ durch $\beta$ auf ein und denselben Punkt $C$ abgebildet werden: $A\stackrel{\beta }{\to }C$ $B\stackrel{\beta }{\to }C$ Wegen $|CC|=0=|\beta (A)\beta (B)|$ müssen $A$ und $B$ ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu $A\equiv ̸B$. Unsere Annahme $Q$ hat kein Urbild ist also zu verwerfen. Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt Drehungen Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt $Z$ besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt $Z$ hat, sprechen wir von einer Drehung um $Z$. Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt Es sei $Z$ ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten ${\mathbb{𝔻}}_Z$ die Menge aller Drehungen um $Z$. Als Verknüpfung auf ${\mathbb{𝔻}}_Z$ wählen wir die $\circ$, die NAF von Abbildungen.${\displaystyle }$ $[{\mathbb{𝔻}}_Z,\circ ]$ ist eine Gruppe: Abgeschlossenheit Es seien $D_1$ und $D_2$ zwei Drehungen um $Z$. Wir haben bererits geszeigt, dass die NAF zweier Bewegungen eine Bewegung ist. Da $D_1$ und $D_2$ zwei Bewegungen sind, ist $D_3:=D_1\circ D_2$ ebenfalls eine Bewegung. Weil $Z$ ein Fixpunkt sowohl von $D_1$ als auch von $D_2$ ist, muss $Z$ auch ein Fixpunkt von $D_3$ sein. Es können jetzt genau zwei Fälle auftreten: Fall 1 $Z$ ist der einzige Fixpunkt von $D_3$. In diesem Fall ist $D_3$ eine Drehung mit dem Fixpunkt $Z$. Fall 2 $D_3$ hat neben $Z$ einen weiteren Fixpunkt $F$. Das bedeutet: $\begin{array}{cccc}\text{(I)}& Z& \stackrel{D_3}{\to }& Z\\ \text{(II)}& F& \stackrel{D_3}{\to }& F\end{array}$ Wegen der Abstandserhaltung von $D_3$ ist jeder Punkt $G$ der Geraden $ZF$ ist ein Fixpunkt bei $D_3$. (Der Leser überzeuge sich davon.) Die Gerade $ZF$ ist damit eine Fixpunktgerade bei $D_3$. Sei $P\in ̸ZF$. Für das Bild $P^{\prime }$