Lösung von Aufgabe 8.4

Definieren Sie den Begriff des Dreiecks, den Begriff des Innenwinkel eines Dreiecks und den Begriff des Inneren eines Dreiecks.

Lösung --Schnirch 10:09, 15. Jul. 2010 (UTC)

Definition (Dreieck): <br\> Es seien $A$, $B$ und $C$ drei nicht kollineare Punkte. Die Vereinigungsmenge der Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ heißt Dreieck $\overline{ABC}$.

Definition (Innenwinkel eines Dreiecks): <br\> Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$. Die Winkel $\mathrm{\angle }A{B}^{+}A{C}^{+}$ $\mathrm{\angle }B{C}^{+}B{A}^{+}$ und $\mathrm{\angle }C{B}^{+}C{A}^{+}$ heißen Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$. <br\>

Definition (Inneres eines Dreiecks): <br\> Das Innere eines Dreiecks $\overline{ABC}$ ist die Schnittmenge der drei Halbebenen $AB{C}^{+}$, $BC{A}^{+}$ und $AC{B}^{+}$. Kurzschreibweise: $I(\overline{ABC}):=AB{C}^{+}\cap BC{A}^{+}\cap AC{B}^{+}$

vorangegangene Diskussion

Es seien $A$, $B$ und $C$ drei nicht kollineare Punkte. Die Vereinigungsmenge der Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ heißt Dreieck $\overline{ABC}$.
$\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ heißen Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$. Die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ heißen Innenwinkel.
Inneres des Dreiecks $\overline{ABC}$ heißt eine Punktmenge der Ebene $E$, in der der Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen, die von $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ umschlossen wird.
--Maude001 17:55, 19. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkung: Das Innere eines Dreiecks ist die Menge der Punkte, die von den Dreiecksseiten umschlossen wird. Das wäre die intuitive Vorstellung, mit der wir in der Schule arbeiten können. Was bedeutet aber umschließen ? Sie bleiben bei der richtigen intuitiven Vorstellung, hier müssen Sie jedoch präziser werden. Entwickeln Sie eine Definition des Begriffs die Seiten eines Dreiecks umschließen eine Menge von Punkten.--*m.g.* 13:15, 22. Jun. 2010 (UTC)

Alternativ für das Innere des Dreiecks: Es sei $a$ die Gerade durch die Punkte $C$ und $B$, $b$ die Gerade durch die Punkte $A$ und $C$, $c$ die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$. Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt der drei Halbebenen $aA$+, $bB$+ und $cC$+. --*Bambi* 07:52, 22. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkung: Diese Definition ist absolut korrekt. Deshalb ist sie keine Alternative zu der Definition von user Maude001 sondern eine Weiterentwicklung bzw. Präzisierung dessen, was Umschließen in diesem Kontext bedeutet.--*m.g.* 13:15, 22. Jun. 2010 (UTC)