Ganze Zahlen mit der Multiplikation

Im Grunde ist die Überprüfung, ob es sich bei $[\mathbb{\mathbb{Z}},\cdot ]$ um eine Gruppe handelt, mit dem Verweis auf die Natürliche Zahlen mit Multiplikation schon beinahe trivial.

Dennoch hier ein analog geführtes (Gegen)Beispiel:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: $a=4,b=5,a\cdot b=4\cdot 5=20\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ passt.

(2) Assoziativität

Beispiel: $a=3,b=2,c=4,(a\cdot b)\cdot c=(3\cdot 2)\cdot 4=6\cdot 4=24=3\cdot 8=3\cdot (2\cdot 4)=a\cdot (b\cdot c)$ passt.

(3) neutrales Element

Beispiel: $a=4,e=1,a\cdot e=4\cdot 1=4,e\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ passt.

(4) inverses Element

Beispiel: $a=4,a$^-1$=(1/4),a\cdot a$^-1$=4\cdot (1/4)=1=e,a$^-1$\notin \mathbb{\mathbb{Z}}$ passt nicht!

Somit handelt es sich bei $[\mathbb{\mathbb{Z}},\cdot ]$ nicht um eine Gruppe.