Restklassen modulo 4 mit der Restklassenmultiplikation

Wir überprüfen ob $[R$₄$,\odot ]$ eine Gruppe ist. Hierfür betrachten wir die Verknüpfungstafel:

$\odot$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$
$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{0}$
$\bar{1}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$
$\bar{2}$	$\bar{0}$	$\bar{2}$	$\bar{0}$	$\bar{2}$
$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{3}$	$\bar{2}$	$\bar{1}$

Abgeschlossenheit

Passt, weil wir sehen können, dass jeder Eintrag, also jedes Ergebnis einer Restklassenmultiplikation, ebenfalls in derselben Restklasse ist.

Assoziativität

Passt, denn die Restklassenmultiplikation ist definiert durch $\bar{a},\bar{b}\in R$₄$,\bar{a}\odot \bar{b}:=\overline{a\cdot b}$

Somit lässt sich $(\bar{a}\odot \bar{b})\odot \bar{c}=\bar{a}\odot (\bar{b}\odot \bar{c})$

auch so schreiben: $(\overline{a\cdot b)\cdot c}=\overline{a\cdot (b\cdot c})$ mit $a,b,c\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

und die Assoziativität in $\mathbb{\mathbb{Z}}$ ist bewiesen.

neutrales Element

Passt, denn anhand der Verknüpfungstafel ist zu sehen, dass die $\bar{1}$ das neutrale Element von $[R$₄$,\odot ]$ ist.

inverses Element

Passt nicht! In der Verknüpfungstafel sehen wir, das die $\bar{1}$ und die $\bar{3}$ zwar ein inverses Element haben, die $\bar{2}$ allerdings nicht.

Resultat

Somit ist $[R$₄$,\odot ]$ keine Gruppe.