Lösung von Aufgabe 12.10

Beweis des Stufenwinkelsatzes:

Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.

Lösung 1

VSS: Gerade $a,b,c$, $a\Vert b$, $c$ schneidet $a$ und $b$
Beh: $\alpha ,\beta$ sind Stufenwinkel, oBdA: $\alpha \cong \beta$
ANN: $|\beta |$ > $|\alpha |$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	das Maß $|\alpha |$ im Scheitelpunkt S von $\beta$ in der gleichen Halbebene bzgl $\alpha$ abtragen, es entsteht der Strahl $S{P}^{+}$ der mit dem Schenkel auf c einen Winkel mit dem Winkelmaß $|{\alpha }^{\text{'}}|$ bildet	(Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
(II)	$\alpha \cong {\alpha }^{\text{'}}$, es sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(III)	$a\Vert SP$	(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
(IV)	$a\Vert SP$ und $a\Vert b$ mit $S\in SP$ und $S\in b$	(VSS), (III)

--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
--> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)