Lösung von Aufgabe 13.2

Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha =\mathrm{\angle }CBA$, $\beta =\mathrm{\angle }CBA$ und $\gamma =\mathrm{\angle }ACB$.
Es gilt $\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|+\left|\gamma \right|=180$.

Versuch 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, mit Innenwinkel $\alpha =\mathrm{\angle }CBA$, $\beta =\mathrm{\angle }CBA$ und $\gamma =\mathrm{\angle }ACB$
Beh: $\left|\alpha \right|+\left|\beta \right|+\left|\gamma \right|=180$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{\exists }d:C\in d,D\Vert AB$	(Euklidisches Parallelenaxiom)
(II)	$\beta$ und ${\beta }^{\text{'}}$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(III)	$\alpha$ und ${\alpha }^{\text{'}}$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(IV)	$\gamma$ und ${\gamma }^{\text{'}}$ sind Scheitelwinkel	(I), (Def. Scheitelwinkel)
(V)	$\alpha \cong {\alpha }^{\text{'}}$, $\beta \cong {\beta }^{\text{'}}$	(I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
(VI)	$\gamma \cong {\gamma }^{\text{'}}$	(I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
(VII)	$|{\alpha }^{\text{'}}|+|{\beta }^{\text{'}}|+|{\gamma }^{\text{'}}|=180$	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(VIII)	$|\alpha |+|\beta |+|\gamma |=180$	(VII), (V), (VI)

-> Beh. wahr qed
--Löwenzahn 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)