Benutzer:Mariposa

Wurzel 2 ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist irrational

d.h. $\mathrm{\exists }p,q\in \mathbb{\mathbb{N}}:\frac{p}{q}=\sqrt{2}$

$p,q$ seien Teilerfremd

$\frac{p}{q}=\sqrt{2}$

$\frac{p^2}{q^2}=2$

$p^2=2q^2$

$⟶p^2$ ist gerade Zahl

$p=2n$

$(p^2=(2n{)}^2=4n^2=2q^2$

$2n^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist gerade

$\Rightarrow q$ ist gerade

$\Rightarrow q=2m$

$\frac{p}{q}=\frac{2n}{2m}$ also kürzbar

$\Rightarrow$Widerspruch zu Voraussetzung $\frac{p}{q}$ teilerfremd