Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $g$, die durch $P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A\in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP|$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	tbc
(III)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
(VIII)
(IX)
(X)

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$, Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $P$ auf $g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $P$ auf $g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $L^{\prime }$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline{PL{L}^{\prime }}$	VSS, Punkte $L{L}^{\prime }P$ sind nicht kollinear, da $L\in g\wedge L^{\prime }\in g\wedge P\notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Annahme, $L^{\prime }$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|=90$	VSS, $L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Supplementaxiom
(V)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<$ Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|$ $|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)