Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $g$, die durch $P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A\in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP|$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A$ wird an der Gerade $g$ der Winkel $\alpha$ in die Halbebene $g,P^{-}$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen
(IV)	IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L
(V)	IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS
(VI)	IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel
(VII)	IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke)

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel $\alpha$ bezüglich $A{P}^{+}$ in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$, Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $P$ auf $g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $P$ auf $g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $L^{\prime }$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline{PL{L}^{\prime }}$	VSS, Punkte $L{L}^{\prime }P$ sind nicht kollinear, da $L\in g\wedge L^{\prime }\in g\wedge P\notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Annahme, $L^{\prime }$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|=90$	VSS, $L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Supplementaxiom
(V)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<$ Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|$ $|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)