Geradenspiegelungen

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$

Übungsaufgabe

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $g$
$(P\notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Wir fällen das Lot von $P$ auf $g$. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden $g$ bezeichnen wir mit $L$	So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$. Außerdem steht das Lot senkrecht auf $g$ , was die Voraussetzung dafür ist, dass $g$ später Mittelsenkrechte werden kann.
2.	Nun tragen wir die Strecke $\overline{PL}$ auf der Halbgeraden $L{P}^{-}$ ab	Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden $g$
3.	Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit $P^{\prime }$	$P^{\prime }$ ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an $g$. Das wird dadurch ersichtlich, dass $P$ und $P^{\prime }$ den gleichen Abstand zu $g$ haben und $g$ somit Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P{P}^{\prime }}$ ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$)

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung $S_g$ versteht man eine ....

Es sei $g$ eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung $S_g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:

(1) Für den Fall dass P $\in$ $g$: P = P'

(2) Für den fall dass P $\notin$ $g$: Die Gerade $g$ ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.