Lösung von Aufg. 8.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

Vor: $\overline{AB}$ Beh: Es existiert $\overline{AB*}$, $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$,$\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

1)$\overline{AB}$___________________laut Vor
2) es existiert ein Strahl AB+_________________Def. Strahl
3) es existiert genau ein Punkt B* auf_______________________Axiom vom Lineal
dem Strahl AB+ für den gilt: $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$
4) $\pi$ ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R
${\displaystyle }$ kleiner als 1 ist daraus
folgt wiederum $\left|A{B}^{*}\right|$ kleiner als $\left|AB\right|$
5) Zw(A,B*,B)____________________________4) 6)$\left|A{B}^{*}\right|$ + $\left|B{B}^{*}\right|$= $\left|AB\right|$_________Def. Zw 5) 7)$\overline{AB}$:=(P\ Zw(A,P,B*))$\cup AB*$