Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $m$ im Punkt $M$ geschnitten wird. $m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m\perp AB$
2. $\left|AM\right|=\left|MB\right|$

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Beweis von Satz VI.1

Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke, die vollständig zur Ebene $\mathrm{E}$ gehören möge.

Behauptungen:

1. Es gibt in $\mathrm{E}$ eine Gerade $m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.
2. Es gibt in $\mathrm{E}$ nicht mehr als eine Gerade $m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.

Beweis der Existenzbehauptung:

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt $Q$ ein, der zur Ebene $\mathrm{E}$ aber nicht zur Geraden $AB$ gehören möge.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(i)	$\mathrm{\exists }M\in \overline{AB}:|AM|=|MB|$	Definition III.1 (Mittelpunkt)
(ii)	$\mathrm{\exists }P\in AB,Q^{+}:|\mathrm{\angle }PMB|=90$	Definition V.6 (rechter Winkel)
(iii)	$PM$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$	(ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung

Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

Winkelhalbierende

Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--Engel82 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --Halikarnaz 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

Satz VI.$1\frac{1}{2}$

Es sei $S{W}^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$. Dann gilt $|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|=\frac{1}{2}|\mathrm{\angle }ASB|$.--Halikarnaz 21:08, 15. Dez. 2010 (UTC)

Beweis von Satz VI.$1\frac{1}{2}$

Übungsaufgabe

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

siehe Auftrag der Woche 10.

Beweis von Satz VI.2

Tutorium_10