Lösung von Aufg. 7

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$

Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)

Vor.:

• drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E
• $g\subset E$
• $A,B,C\notin g$
• $\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}$
  

Beh.: $\overline{AC}\cap g\ne \{\}$

Der folgende Beweis ist nur einer von vielen möglichen. Fühlen Sie sich frei Ihre Version auch mit hier einzustellen!
Die Idee des folgenden Beweises liegt darin, sich einen weiteren Punkt P in der Halbebene $g{A}^{+}$ zu erzeugen, der nichtkollinear zu A,B,C ist und dann das Axiom von Pasch mehrfach anzuwenden:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{\exists }S:\overline{AB}\cap g=\{S\}$	Vor.
(II)	$\mathrm{\exists }T\in g\wedge T=S$	Axiom I/2
(III)	$\mathrm{\exists }P\in \overline{AT}\wedge P\notin g\wedge P=A$	Axiom vom Lineal
(IV)	$P\in g{A}^{+}$	(II), (III)
(V)	$\overline{PA}\cap g=\{\}$	(IV), Def. Halbebene
(VI)	$\overline{AB}\cap g=\{\}$	Vor.
(VII)	$\overline{PB}\cap g=\{\}$	(V), (VI), Axiom von Pasch
(VIII)	$\overline{BC}\cap g=\{\}$	Vor.
(IX)	$\overline{PC}\cap g=\{\}$	(VII), (VIII), Axiom von Pasch
(X)	$\overline{AC}\cap g=\{\}$	(V), (IX), Axiom von Pasch