Axiome WS10/11

Axiome

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Axiome I: Inzidenzaxiome

Axiom I/0

Geraden sind Punktmengen.

Axiom I/1 (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden

Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.

Axiom I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Axiome II: Abstandsaxiome

Axiom II.1 (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $ \ A $ und $ \ B $ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $ \ d $ mit $ d=0:\Longleftrightarrow A=B $.

Axiom II.2

Für zwei beliebige Punkte $ \ A $ und $ \ B $ gilt $ \left|AB\right|=\left|BA\right| $.

Axiom II/3 (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $ \ A,B $ und $ \ C $ gilt: $ \left|AB\right|+\left|BC\right|\geq \left|AC\right|. $

Falls $ \operatorname {koll} \left(ABC\right) $, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $

$ \left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right| $

$ \left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right| $

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $ \ A $, $ \ B $ und $ \ C $ kollinear.

Axiome III

Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $ \ d $ gibt es auf jedem Strahl $ \ p $ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $ \ p $ den Abstand $ \ d $ hat.

Axiom III.2 (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $ {\overline {ABC}} $. Ferner sei $ \ g $ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $ \ A,B,C $ geht. Wenn $ \ g $ eine der drei Seiten des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $ schneidet, dann schneidet $ \ g $ genau eine weitere Seite des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $.

Axiome IV

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $ \ \alpha $ gibt es genau eine reelle Zahl $ \ \omega $ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $ \ g\equiv SA $ eine Gerade in der Ebene $ \ \mathrm {E} $. Zu jeder reellen Zahl $ \ \omega $ mit $ \ 0<\omega <180 $ gibt es in jeder der beiden durch $ \ g $ bestimmten Halbebenen der Ebene $ \ \mathrm {E} $ genau einen Strahl $ \ SB^{+} $ mit $ \ \left|\omega \right|=\left|\angle ASB\right| $

Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $ \ P $ zum Inneren des Winkels $ \ \angle ASB $ gehört , dann gilt $ \ \left|\angle ASP\right|+\left|\angle PSB\right|=\left|\angle ASB\right| $.

Axiom IV.4 (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiome V

Axiom V (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $ {\overline {ABC}} $ und $ {\overline {DEF}} $ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $ {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}} $
2. $ {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}} $
3. $ \angle CAB\cong \angle FDE $

gelten,
dann sind die beiden Dreiecke $ {\overline {ABC}} $ und $ {\overline {DEF}} $ kongruent zueinander.

Parallelenaxiom

Das Euklidische Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt $ \ P $ außerhalb einer Geraden $ \ g $ gibt es höchstens eine Gerade $ \ h $, die durch $ \ P $ geht und zu $ \ g $ parallel ist.