Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $g$ gehören möge. ...

Definition:
Es sei $P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $g$ gehören möge, die Grade durch $P$ und $g$, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt $S$ von $P$ und $g$ heißt Lotfußpunkt, die Strecke $\overline{SP}$ Lot.--Peterpummel 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST)
Hier wurde geschrieben: Der Schnittpunkt von $\mathrm{P}$ und $\mathrm{g}$... da $P\in ̸g$ vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --Tutor Andreas 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Der Abstand von $P$ zu $g$ ist ...

Defintion:
Es sei $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Der Abstand von $P$ zu $g$ ist die Länge des Lots von $P$ auf $g$
--Peterpummel 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

Es sei $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Der Abstand von $P$ zu $g$ ist eine nicht negative reelle Zahl d. --Teufelchen 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $P$ außerhalb einer Geraden $g$ gibt es genau ein Lot von $P$ auf $g$.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Übungsaufgabe

$Existenz$
$Voraussetzung:SeigeineGeradeundPeinPunktmit\in ̸g$
$Behauptung:EsexistierteinLotaufgdurchP$
$Annahme:SeiSeinPunktmitS\in g$
$\Rightarrow {\mathrm{\exists }}_{1}Q\in g{P}^{+}mit|\mathrm{\angle }gQ|=90,nachdemWinkelkonstruktionsaxiom$
$BetrachtenundieeindeutigeParallelelvonSQdurchP,dieginTschneidet(n.E.P.unddemKorallardavon)$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }gPistStufenwinkelvon\mathrm{\angle }gQ\Rightarrow |\mathrm{\angle }gP|=90,nachdemStufenwinkelsatz$
$\Rightarrow \overline{PT}istLotaufgdurchP$

Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--Peterpummel 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST)