Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace \Rightarrow MA\perp \ t $

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace $
Behauptung: $ MA\perp \ t $

Annahme: $ \ MA\not \perp \ t $

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	CB| = |BA|	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$ |\angle MBA|=|\angle MBC|=90 $	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$ {\overline {MBA}}\cong {\overline {MBC}} $	MB| = |MB|
5	MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace \Rightarrow $
t ist Tangente an k.