Serie 03

Aufgabe 3.1

(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $ k $ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $ M $ und dem Radius $ r $. Ferner sei $ g $ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $ Z $ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $ M $ auf $ g $ mit $ k $. Wir definieren eine Abbildung $ \varphi $ von $ k\setminus _{Z} $ auf $ g $: $ \forall P\in k\setminus _{Z}:\varphi (P)=ZP\cap g $. Ist $ \varphi $ fixpunktfrei?

Aufgabe 3.2

Es sei $ X=\left\{(x,0)|x\in \mathbb {R} \right\} $. Wir definieren auf $ X $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall (x,0)\in X:\varphi ((x,0))=(x,\sin ^{2}x) $. Jedes Element des $ \mathbb {R} ^{2} $ fassen wir als Punkt auf. Hat $ \varphi $ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)

Aufgabe 3.3

Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $ B $ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $ P $hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $ \left(x_{p},y_{p}\right) $. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $ B $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall P\in B:\varphi (P)=\left(\operatorname {z} ufallsbereich(0;1920),\operatorname {z} ufallsbereich(0;1080)\right) $. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ \varphi $ einen Fixpunkt hat?

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie: wenn eine Bewegung $ \varphi $ zwei verschiedene Fixpunkte $ A $ und $ B $ hat, dann hat ist die Gerade $ AB $ eine Fixpunktgerade bezüglich $ \varphi $.

Aufgabe 3.2

Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte $ A,B,C $ Fixpunkte der Bewegung $ \varphi $ sind, so ist $ \varphi $ die identische Abbildung. ==