Alle Axiome im Überblick SoSe12

Axiome

Inzidenzaxiome

Axiom I.0:

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I.2:

Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I.3:

Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I.4:

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I.5:

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I.6:

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I.7:

Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $A$ und $B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $d$ mit $d=0:\iff A=B$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt $\left|AB\right|=\left|BA\right|$.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $A,B$ und $C$ gilt: $\left|AB\right|+\left|BC\right|\ge \left|AC\right|.$

Falls $\mathrm{koll}\left(ABC\right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

$\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$

$\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $A$, $B$ und $C$ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $d$ gibt es auf jedem Strahl $p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $p$ den Abstand $d$ hat.

Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$. Ferner sei $g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $A,B,C$ geht. Wenn $g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $g\equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $E$. Zu jeder reellen Zahl $\omega$ mit $0<\omega <180$ gibt es in jeder der beiden durch $g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $E$ genau einen Strahl $S{B}^{+}$ mit $\left|\omega \right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $P$ zum Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ gehört , dann gilt $\left|\mathrm{\angle }ASP\right|+\left|\mathrm{\angle }PSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$
2. $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{DF}$
3. $\mathrm{\angle }CAB\widetilde{=}\mathrm{\angle }FDE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt $P$ außerhalb einer Geraden $g$ gibt es höchstens eine Gerade $h$, die durch $P$ geht und zu $g$ parallel ist.