Lösung Serie 02

Aufgabe 2.1

Erstellen Sie eine Konstruktionsvorschrift zur Konstruktion des Bildes eine Punktes $ P $ bei der Spiegelung an der Geraden $ g $ für den Fall, dass $ P $ außerhalb von $ g $ liegt. Begründen Sie die Korrektheit eines jeden Konstruktionsschrittes. (s. Skript: http://wikis.zum.de/geowiki/Geradenspiegelungen_(2011/12)#.C3.9Cbungsaufgabe:)

Ich hoffe, dass das alles so stimmt ;-)
Datei:Konstruktion Sg(P).zip
--Flo60 00:00, 31. Okt. 2011 (CET)

Aufgabe 2.2

Inwiefern ist die Konstruktionsvorschrift aus Aufgabe 01 eine Definition?

Aufgabe 2.3

Definieren Sie den Begriff Geradenspiegelung. (Skript: http://wikis.zum.de/geowiki/Geradenspiegelungen_(2011/12)#Definition_2.1:_.28Spiegelung_an_der_Geraden_.29)

Es sei $ \ g $ eine Gerade. Unter der Spiegelung $ \ S_{g} $ an der Geraden $ g $versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: $ {\overline {P\rho (P)}}\perp g $ und $ |Pg|=|g\rho (P)| $.

Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):

Es sei $ \ g $ eine Gerade. Unter der Spiegelung $ \ S_{g} $ an der Geraden $ g $versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke $ {\overline {P\rho (P)}} $ ist.

--Flo60 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Aufgabe 2.4

Beweisen Sie: Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend. (Satz 2.1 aus dem Skript)

Aufgabe 2.5

Beweisen Sie: :: Eine Geradenspiegelung $ \ S $ ist durch die Angabe eines Punktes $ \ P $ und dem Bild von $ \ S(P) $ eindeutig bestimmt, falls $ \ P\not =S(P) $ gilt. (Satz 2.3 aus dem Skript)
Nach zu Grunde legen der Definition des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung geht dieses unmittelbar aus dem Winkelkonstruktionsaxiom hervor und der Eindeutigkeit des Mittelpunktes. --Flo60 21:31, 31. Okt. 2011 (CET)