Lösung von Aufg. 8.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.

Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset A{B}^{+}$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^{*}\in A{B}^{+}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$	Axiom III.1
(II)	$\overline{A{B}^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(III)	$\left|A{B}^{*}\right|>\left|AB\right|$	Rechnen in $\mathbb{ℝ}$ und $\pi$ > 1
(IV)	$\mathrm{Zw}(A,B,B^{*})$	(I), (III), Def. Zw
(V)	$\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$	(IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: $\overline{AB}$
Beh: es existiert $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$;$\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.

1)$\overline{AB}$__________________________________laut Vor
2) es existiert g: $A\in g$ und $B\in g$_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
$\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$
5) Zw(A,B, B*), da $\pi$ größer als 1 ist gilt:_____________4)
$\overline{A{B}^{*}}$ größer als $\overline{AB}$
6)$\left|AB\right|$+ $\left|B{B}^{*}\right|$ =$\left|A{B}^{*}\right|$___________Def. Zw und 5
7)$\overline{AB}$ für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)$\cup$(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8)$\overline{A{B}^{*}}$ für die gilt:($\overline{AB}$$\cup$ (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9)$\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)

Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?

das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)