Quelltext der Seite Winkelmessung

== Winkelmessung ==
=== Das Winkelmaß ===
==== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ====

{| class="wikitable center" 
|- 
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|- 
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Das Winkelmaßaxiom ====
===== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) =====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

=====Definition V.4: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder  das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

=== Winkelkonstruktion ===
==== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ====
===== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) =====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
=== Winkeladdition ===
===== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)=====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

===== Satz V.2 =====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
===== Beweis von Satz V.2 =====

=== Rechte Winkel ===
===== Definition V.5 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.6 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

===== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) =====
::Nebenwinkel sind supplementär.
===== Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln) =====
::Es gibt rechte Winkel.
===== Beweis von Satz V. : =====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.<br />
Nach Definition V.5 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.
Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.