Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega =\left|\alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $g\equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\mathrm{E}$. Zu jeder reellen Zahl $\omega$ mit $0<\omega <180$ gibt es in jeder der beiden durch $g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\mathrm{E}$ genau einen Strahl $S{B}^{+}$ mit $\left|\omega \right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $P$ zum Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ gehört , dann gilt $\left|\mathrm{\angle }ASP\right|+\left|\mathrm{\angle }PSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\mathrm{\angle }ASP$ und $\mathrm{\angle }PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$.

Beweis von Satz V.2

VSS: $P$ liegt im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$
Beh: $\left|\mathrm{\angle }ASP\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$ und $\left|\mathrm{\angle }PSB\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$P$ liegt im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$	Voraussetzung
(II)	$\left|\mathrm{\angle }ASP\right|+\left|\mathrm{\angle }PSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$	Axiom IV.3
(III)	$\left|\mathrm{\angle }ASP\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$	Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
(IV)	$\left|\mathrm{\angle }PSB\right|<\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$	Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS

--Maude001 12:06, 25. Jul. 2010 (UTC)

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V.3 :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden $SA$ zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel $\mathrm{\angle }ASP$ gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.

Beweis:
Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): $\alpha =\beta$
Behauptung: Jeder dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

Schritt	Aussage	Begründung
(1)	Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär.	nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
(2)	Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180.	(Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
(3)	$\alpha +\beta =180$	Nach (1), (2)
(4)	$\alpha +\alpha =180$ $2\alpha =180$ $\alpha =90$ $\to \beta =90$	Nach Voraussetzung ($\alpha =\beta$) und (3) algebraische Umformung algebraische Umformung Nach Voraussetzung ($\alpha =\beta$)

--Heinzvaneugen 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
Ein Versuch:
Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel und umgekehrt.
Der Winkel hat die Größe 90$\iff$Rechter Winkel (Äquivalenzrelation) --Heinzvaneugen 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
Ein zweiter Versuch:
Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --TimoRR 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

Kommentar --*m.g.* 13:38, 28. Jun. 2010 (UTC): Ich hab Ihnen die Definition "supplementär" anders formuliert. (Meist ist eine Definition als Äquivalenz gemeint.) Jetzt dürften Ihre Probleme ausgeräumt sein. Der Beweis und die Äquivalenz sind korrekt.

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Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden. Wenn sich $g$ und $h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $g$ und $h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $g\perp h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --Maude001 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

korrekt --*m.g.* 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $g$ und die Gerade $AB$ senkrecht aufeinander stehen.

Ergänzen Sie:

Eine Strecke $\overline{AB}$ und eine Strecke $\overline{CD}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --Maude001 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

Eine Gerade $g$ und eine Ebene $ϵ$ stehen senkrecht aufeinander, wenn es in $ϵ$ ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in $ϵ$ liegen und auf die

$g$ senkrecht steht. --Löwenzahn 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

Eigenschaften der Relation senkrecht

Die Relation eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden hat die folgenden Eigenschaften:

	Sie ist reflexiv.
	Sie ist symmetrisch.
	Sie ist transitiv.
	Sie ist keine Äquivalenzrelation.
	Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
	Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.

Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\mathrm{E}$. Ferner sei $P$ ein Punkt auf $g$. In der Ebene $\mathrm{E}$ gibt es genau eine Gerade $s$, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.

Beweis von Satz V.5

Übungsaufgabe