Quelltext der Seite Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen

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===Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d===
<math>
\begin{align}
ax+by+cz=d \\
a, b, c, d \in \mathbb{R} \\
x, y, z \in \mathbb{R},
\end{align}
</math><br />

===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
====Gerade?====
Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
<math>ax+by+cz=d</math><br />
Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ <math>ax+by=c</math> ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren.
Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung <math>ax+by+cz=d</math> alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum <math>\mathbb{R}^3</math> zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:<br />
====Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0====
Sei etwa nur der Koeffizient <math>a</math> verschieden von <math>0</math>. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu <math>ax=d</math>. Umgestellt nach <math>x</math> ergibt sich <math>x=\frac{d}{a}</math>. Alle geordneten Tripel <math>\left (\frac{d}{a}, y, z \right )</math> aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> genügen damit unserer Gleichung.<br />
Unklar? Wir können die Gleichung auch als <math>ax+0y+0z=d</math> bzw. <math>x + 0y + 0z = \frac{d}{a}</math> schreiben.<br />
Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene <math>\varepsilon</math> interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:
* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>2x + 0y+ 0z = 3</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>y-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( \frac{3}{2} \right )</math> geht.
* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>x-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( 0, \frac{35}{9} \right )</math> geht.
* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.
====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====
=====Beispiel 1=====
<math>z=0</math>, <math>a=2</math>, <math>c=\frac{3}{5}</math>, <math>d=1</math><br />

Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math><br />
Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:<br />
<math>2x+\frac{3}{5}y=1</math> Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der <math>x-y-</math>Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung <math>2x+\frac{3}{5}y=1</math> bzw. mit der Gleichung <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math>. <br />
Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der 
<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.

====Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 ====

====Ebene!====
'''Satz:'''<br />
:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />




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[[Kategorie:Linalg]]

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