Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d
$ {\begin{aligned}ax+by+cz=d\\a,b,c,d\in \mathbb {R} \\x,y,z\in \mathbb {R} ,\end{aligned}} $
Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d
Gerade?
Es seien $ a,b,c,d\in \mathbb {R} $ , beliebig aber fest, $ a,b,c $ nicht gleichzeitig $ 0 $,
$ x,y,z\in \mathbb {R} $, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
$ ax+by+cz=d $
Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ $ ax+by=c $ ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im $ \mathbb {R} ^{2} $ interpretieren.
Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung $ ax+by+cz=d $ alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum $ \mathbb {R} ^{3} $ zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:
Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0
Sei etwa nur der Koeffizient $ a $ verschieden von $ 0 $. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu $ ax=d $. Umgestellt nach $ x $ ergibt sich $ x={\frac {d}{a}} $. Alle geordneten Tripel $ \left({\frac {d}{a}},y,z\right) $ aus dem $ \mathbb {R} ^{3} $ genügen damit unserer Gleichung.
Unklar? Wir können die Gleichung auch als $ ax+0y+0z=d $ bzw. $ x+0y+0z={\frac {d}{a}} $ schreiben.
Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene $ \varepsilon $ interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:
- Die Lösungsmenge der Gleichung $ 2x+0y+0z=3 $ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $ y-z- $Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $ \left({\frac {3}{2}}\right) $ geht.
- Die Lösungsmenge der Gleichung $ 0x+{\frac {3}{7}}y+0z={\frac {5}{3}} $ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $ x-z- $Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $ \left(0,{\frac {35}{9}}\right) $ geht.
- Die Lösungsmenge der Gleichung $ 0x+0y+\pi z=0 $ ist die $ x-y- $Ebene.
Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0
Beispiel 1
$ z=0 $, $ a=2 $, $ c={\frac {3}{5}} $, $ d=1 $
Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel $ 2x+{\frac {3}{5}}y+0z=1 $
Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:
$ 2x+{\frac {3}{5}}y=1 $ Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der $ x-y- $Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung $ 2x+{\frac {3}{5}}y=1 $ bzw. mit der Gleichung $ y=-{\frac {10}{3}}x+{\frac {5}{3}} $.
Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung $ 2x+{\frac {3}{5}}y+0z=1 $ ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der
$ x-y- $Ebene steht und mit der $ x-y- $Ebene die Gerade $ y=-{\frac {10}{3}}x+{\frac {5}{3}} $ gemeinsam hat.
Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0
Ebene!
Satz:
- Die Gleichung (II) $ ax+by+cz=d $ beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im $ \mathbb {R} ^{3} $.
|
