Quelltext der Seite Serie 1 Geradengleichungen in der Ebene

=Aufgabe 1=
Gegeben seien die Punkte <math>A \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{3} +2 \right)</math> und <math>B \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} , 0 \right)</math>. <br />
Beschreiben Sie die Gerade <math>AB</math> jeweils durch eine Gleichung der Form
# <math>y=mx+n</math>
# <math>ax+by+c=0</math>
# <math>P=A+t\vec{r}</math>
.
=Aufgabe 2=
Die Gerade <math>g</math> möge die <math>x-</math>Achse unter einem Winkel von <math>30^\circ</math> im Punkt <math>A\left(\sqrt{2}, 0\right)</math> schneiden.
# Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem auf ein Blatt Papier. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal eine grafische Darstellung der Geraden <math>g</math> bezüglich Ihres Koordinatensystems.
# Geben Sie eine Gleichung der Form <math>y=mx+n</math> zur Beschreibung von <math>g</math> an.
# Geben Sie eine Gleichung der Form <math>ax+by+c=0</math> zur Beschreibung von <math>g</math> an.
# Geben Sie eine Gleichung der Form <math>P=A+t\vec{r}</math>zur Beschreibung von <math>g</math> an.

=Aufgabe 3=
Eine Gerade <math>g</math> habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur <math>y-</math> Achse parallele Kathete die Länge <math>\Delta y</math> hat. Die andere Kathete möge die Länge <math>\Delta x</math> haben. Geben sie fünf Vektoren <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5}</math> an, die bezüglich <math>g</math> Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge <math>1</math> haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.
=Aufgabe 4=
Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem. 
# Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>g</math> ein, die durch die Gleichung  <math>y=\frac{3}{5}x</math> beschrieben wird.
# Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>h</math> ein, die durch die Gleichung <math>\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}=0</math> beschrieben wird.
# Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>i</math> ein, die durch die Gleichung <math>-3x+4y=0</math> beschrieben wird.
# Interpretieren Sie die Gleichungen für <math>h</math> und <math>i</math> als <math>ax+by=0</math>. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren <math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math> ein.
# Zeichnen Sie den Punkt <math>P\left(10, \frac{10}{8} \right)</math> ein. Messen Sie den Abstand von <math>P</math> zu <math>g</math>.
# Berechnen Sie <math>\frac{3}{5}10-\frac{4}{5}\frac{10}{8}=d</math>. Was stellen Sie fest?
=Aufgabe 5=
Gegeben sei die Funktion <math>f</math> mittels der Gleichung <math>f(x)=\frac{3}{2}x^2+1</math>. Beschreiben Sie die Tangente <math>t</math> an <math>f</math> im Punkt <math>B(2, f(2)</math> durch Gleichungen der Form
# <math>y=mx+n</math>
# <math>ax+by+c=0</math>
# <math>P=A+t\vec{r}</math>
=Aufgabe 6=
Im <math>\mathbb{R}^3</math> sei ein Würfel <math>W</math> mit der Kantenlänge <math>1</math>gegeben. Die Grundfläche von <math>W</math> sei das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math>, wobei <math>A</math> auf der positiven <math>x-</math>Achse, <math>B</math> auf der positiven <math>y-</math>Achse, <math>C</math> auf der negativen <math>x-</math>Achse und <math>D</math> auf der negativen <math>y-</math>Achse liegen mögen. Die Deckfläche von <math>W</math> erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors <math>\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Der Punkt <math>A</math> wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt <math>E</math> abgebildet, desweiteren <math>B</math> auf <math>F</math>, <math>C</math> auf <math>G</math> und schließlich <math>D</math> auf den Punkt <math>H</math>.<br />
<math>W</math> Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>45^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.
=Aufgabe 7=
In der <math>x-z-</math>Ebene des <math>\mathbb{R}^3</math> sei die Funktion <math>f</math> mit <math>z(x)=-x^2+10</math> gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die <math>z-</math>Achse aus <math>f</math> ein Drehparaboloid <math>P</math>. <math>\varepsilon</math> sei die Ebene, die man erhält, wenn man die <math>y-z-</math>Ebene um <math>30^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse dreht. Der Schnitt von <math>\varepsilon</math> mit <math>P</math> ist eine Parabel <math>p</math>. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an <math>p</math> an, die in <math>\varepsilon</math> liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand <math>2</math> zur <math>z-</math>Achse haben.
=Aufgabe 8=
Die Ebene <math>\varepsilon</math> möge das Koordinatensystem in den Punkten <math>A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math> schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Form <math>ax+by+cz+d=0</math> zur Beschreibung von <math>\varepsilon</math> an.
=Aufgabe 9=
Informieren Sie sich, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt <math>S</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> aus Aufgabe 8. Lassen Sie das Dreieck mit Geogebra 3D zeichnen und lassen sie ebenso den Schwerpunkt <math>S</math> einzeichnen. Welche Lage hat der Ortsvektor von <math>S</math> bezüglich der Ebene <math>\varepsilon</math>?

=Aufgabe 10=
Berechnen Sie die Länge des Ortsvektors von <math>S</math> aus Aufgabe 9.