Serie 1 Geradengleichungen in der Ebene

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Aufgabe 1

Gegeben seien die Punkte A(12,123+2) und B(−43,0).
Beschreiben Sie die Gerade AB jeweils durch eine Gleichung der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+tr→

.

Aufgabe 2

Die Gerade g möge die x−Achse unter einem Winkel von 30∘ im Punkt A(2,0) schneiden.

  1. Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem auf ein Blatt Papier. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal eine grafische Darstellung der Geraden g bezüglich Ihres Koordinatensystems.
  2. Geben Sie eine Gleichung der Form y=mx+n zur Beschreibung von g an.
  3. Geben Sie eine Gleichung der Form ax+by+c=0 zur Beschreibung von g an.
  4. Geben Sie eine Gleichung der Form P=A+tr→zur Beschreibung von g an.

Aufgabe 3

Eine Gerade g habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur y− Achse parallele Kathete die Länge Δy hat. Die andere Kathete möge die Länge Δx haben. Geben sie fünf Vektoren n1→,n2→,n3→,n4→,n5→ an, die bezüglich g Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge 1 haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.

Aufgabe 4

Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem.

  1. Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade g ein, die durch die Gleichung y=35x beschrieben wird.
  2. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade h ein, die durch die Gleichung 35x−45=0 beschrieben wird.
  3. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade i ein, die durch die Gleichung −3x+4y=0 beschrieben wird.
  4. Interpretieren Sie die Gleichungen für h und i als ax+by=0. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren (ab) ein.
  5. Zeichnen Sie den Punkt P(10,108) ein. Messen Sie den Abstand von P zu g.
  6. Berechnen Sie 3510−45108=d. Was stellen Sie fest?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion f mittels der Gleichung f(x)=32x2+1. Beschreiben Sie die Tangente t an f im Punkt B(2,f(2) durch Gleichungen der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+tr→

Aufgabe 6

Im ℝ3 sei ein Würfel W mit der Kantenlänge 1gegeben. Die Grundfläche von W sei das Quadrat ABCD‾, wobei A auf der positiven x−Achse, B auf der positiven y−Achse, C auf der negativen x−Achse und D auf der negativen y−Achse liegen mögen. Die Deckfläche von W erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors v→=(001). Der Punkt A wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt E abgebildet, desweiteren B auf F, C auf G und schließlich D auf den Punkt H.
W Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel 45∘ um die z−Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.

Aufgabe 7

In der x−z−Ebene des ℝ3 sei die Funktion f mit z(x)=−x2+10 gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die z−Achse aus f ein Drehparaboloid P. ε sei die Ebene, die man erhält, wenn man die y−z−Ebene um 30∘ um die z−Achse dreht. Der Schnitt von ε mit P ist eine Parabel p. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an p an, die in ε liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand 2 zur z−Achse haben.

Aufgabe 8

Die Ebene ε möge das Koordinatensystem in den Punkten A(100),B(010),C=(001) schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Form ax+by+cz+d=0 zur Beschreibung von ε an.

Aufgabe 9

Informieren Sie sich, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC‾ aus Aufgabe 8. Lassen Sie das Dreieck mit Geogebra 3D zeichnen und lassen sie ebenso den Schwerpunkt S einzeichnen. Welche Lage hat der Ortsvektor von S bezüglich der Ebene ε?

Aufgabe 10

Berechnen Sie die Länge des Ortsvektors von S aus Aufgabe 9.

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